1. Цель данных приложений заключается не просто в том, чтобы выразить основные положения, содержа­щиеся в книге, с помощью математических символов - в этом я не вижу особой пользы. Если словесные (или геометрические) рассуждения убедительны, они ничего не выиграют от представления в иной форме. Чего мы мо­жем достигнуть, однако, так это уверенности в том, что наши положения обладают максимально возможной общ­ностью: доказанное для двух, трех или четырех товаров справедливо и для n товаров. В этих приложениях я со­средоточу внимание на доказательстве обоснований та­кого рода обобщений.

Я буду придерживаться того же порядка рассмотре­ния вопросов, что и в тексте книги, и буду выделять ча­сти приложений таким образом, чтобы они соответствовали главам книги, с которыми связаны. Я должен на­чать, однако, с обсуждения чисто математического утвер­ждения, которое играет основную роль в последующем изложении. Какое отношение оно имеет к делу, станет ясно почти сразу.

2. Основное математическое утверждение. (1) Одно­родную функцию второго порядка от трех переменных

ax²+ by² + cz² + 2fyz+ 2gzx+ 2hxy

можно записать также в следующем виде:

Так как переменные появляются только в скобках, а каж­дая скобка возведена в квадрат, сразу ясно, что исходное выражение положительно для всех действительных значений переменных, если коэффициенты при всех скоб­ках положительны, и отрицательным, если все соответст­вующие коэффициенты отрицательны. Эти коэффициенты являются отношениями определителей

Таким образом, исходное выражение будет всегда поло­жительным, если все три определителя положительны; оно будет всегда отрицательным, если первый и третий опре­делители отрицательны, а второй положителен.

(2) Такое же утверждение можно установить для произвольного числа переменных [См.: Burnside and Panto n. Theory of Equations, vol. II, p. 181-182. (По этим вопросам см. также: Р. Беллман. Введение в теорию матриц, гл. 5. М., 1976. - Прим. перев.)]. Квадратичная форма общего вида

a₁₁x²₁+ a₂₂x²₂+...+ a_nnx²_n + 2a₁₂x₁x₂+ 2a₁₃x₁x₃+...+ 2а₂₃x₂x₃+...

будет положительно определена для всех действительных значений х, если определители

все положительны; она будет отрицательно определена, если они отрицательны и положительны попеременно.

(3) Когда требуется найти условия, при которых рас­смотренная выше квадратичная форма положительно или отрицательно определена не для всех значений перемен­ных, а только удовлетворяющих линейному ограничению

b₁x₁+ b₂x₂+ ...+ b_nx_n = 0,

то мы можем двигаться дальше, удалив одну из перемен­ных, например, x₁. Квадратичная форма тогда примет сле­дующий вид:

c₂₂x₂₂ + c₃₃x₃₂ + ...+ c_nnx_n2 + 2с₂₃x₂x₃+ ...,

где

Теперь искомые условия можно тогда записать в той же форме, что и в пункте (2) выше - с с вместо а; их можно упростить, умножить каждый определитель на отрицательную величину (-У). Например:

что получается при добавлении первых двух столбцов с соответствующими множителями к каждому из остав­шихся столбцов.

Таким образом, условие, согласно которому квадратич­ная форма положительно определена при линейном огра­ничении, состоит в том, что определители

должны быть все отрицательны (так как отрицательный множитель -b₁² изменит все знаки); условие, согласно которому она отрицательно определена, состоит в том, что определители должны быть положительными и отри­цательными попеременно.

Это все, что нам нужно из чисто математических основ; теперь обратимся к экономике.

Приложение к главе I

3. Равновесие потребителя. Мы начинаем с рассмот­рения поведения индивида, который располагает фикси­рованной суммой денег М для расходов (назовем эту сум­му условно его «доходом») и имеет возможность потра­тить эту сумму на n различных товаров. Цены этих n то­варов заданы рынком. Обозначим эти цены как p₁, p₂, р₃, ... р_n. Обозначим через x₁, x₂, х₃, ... x_n количества соот­ветствующих товаров, которые индивид покупает.

Тогда, при условии, что он потратит весь свой доход, мы получим:

Предположим пока, что потребности индивида выра­жаются известной функцией полезности u (x₁, х₂, х₃,... x_n). Количество закупленных товаров будет определено из ус­ловия, согласно которому и максимальна при соблюде­нии (3.1). Это количество можно найти, вводя множитель Лагранжа р, и максимизируя выражение:

Условия равновесия потребителя состоят, следовательно, в том. что

где u_r - вписано вместо θu/θx_r - предельной полезности x_r. Таким образом, полученное уравнение выражает ра­венство между предельной полезностью x_r и ценой x_r, умноженной на μ (последний множитель связывается с маршаллианским понятием предельной полезности).

Если избавиться от μ в уравнениях (3.2), то они сво­дятся к виду:

Эти n-1 уравнение вместе с уравнением (3.1) дают n уравнений для определения n количеств: х₁, х₂, ..., x_n.

4. Условия стабильности. Чтобы функция u действительно имела максимум, необходимо, чтобы выполнялось не только du=0 (как показано выше), но и d²u<0. Рас­крывая эти выражения и обозначая как urs вторые частные производные (так же как и ur-первые), получим:

Последнее выражение является квадратичной формой, по­добной той, что мы рассмотрели в § 2 (так как u_s^r=u_rs); следовательно, условие, согласно которому d²u<0 для всех значений dx₁, dx₂, ..., dx_n, таких, что du=0 [Имеется в виду, что изменения х не должны приводить к нарушению бюджетного ограничения (3.1), т. е. Σ p_rdxr=0. Отсюда, с учетом (3.2), получаем, что du=Σu_rdxr=0. - Прим. перев.], состоит в том, что определители

должны быть положительными и отрицательными попе­ременно.

Эти определители будут играть чрезвычайно важную роль в нашем последующем анализе. Я обозначу послед­ний из них как U, а алгебраические дополнения элемен­тов u_r, u_s, u_rr, u_rs в U - как U_r, U_s, U_rr, U_rs. Так как n то­варов могут быть взяты в любом порядке, то из (4.1) не­посредственно следует, что U_rr/U должно быть отрица­тельным.

5. Ординалистский характер полезности. Условия равно­весия и условия стабильности для индивидуального потре­бителя соответствуют предположению, что существует оп­ределенная функция полезности и. Это в действительности самый удобный способ записи таких условий. Важно лишь отметить, что они не зависят от существования какой-либо единственной функции полезности. Так, предположим, что функция полезности и заменяется на любую произвольную функцию от себя самой φ (u). Тогда можно показать, что при соблюдении единственного условия, согласно ко­торому функция φ (u) возрастает с ростом u (т. е. при ус­ловии, что φ '(u) положительна), условия равновесия и условия стабильности при замене функции полезности ни­как не изменяется.

Так как j/jxr φ (u) = φ '(u) ur то условия равновесия (3.3) останутся неизменными. Равные друг другу отношения просто помножаются на общий множитель φ '(u), который можно сократить. (Даже если они записаны в виде (3.2), они все же не изменяются, если μ заменить на φ '(u) μ. Так как μ - произвольно, то такая замена обоснованна.)

Так как (δ²/ δ x_r δ x_s) φ (u) =φ '(u) u_rs+ φ ''(u) u_r u_s то определители из условий устойчивости преобразуются аналогичным образом.

Первый определитель превращается в

подобное преобразование можно произвести с каждым определителем в данной последовательности, r-ый определитель имеет (r+ 2) строк и столбцов; следовательно его придется помножить на множитель {φ '(u)} ^r+2. Так как φ '(u) предполагается положительной, ни один из определителей с введением такого множителя не изменит знак; так как именно знаки определителей связаны со стабильностью, можно считать, что соответствующие условия не изменились при замене и на φ (u).

Таким образом, если мы решим начать (что, я считаю, нам и следует сделать) не с данной функции полезности, а с данной шкалы предпочтений, нам придется лишь сосредоточить внимание на тех свойствах функций полезности, которые инвариантны относительно замены u на φ (u). Исходные условия равновесия и исходные условия стабильности, как было показано, инвариантны относительно такой замены. В остальном наша теория стоимости будет разрабатываться с использованием только инвариантных свойств, хотя, как правило, я буду остав­лять возможность самому читателю проверить инвариантность.

Приложение к главам II и III

6. Влияние увеличения дохода на спрос. Преобразуем уравнения (3.1) и (3.2), записав их в форме:

Возьмем частную производную по М:

Решая, получим

Из (6.1) находим: p_s=u_s/μ, так что это можно записать в виде:

О знаке U_r ничего не известно, следовательно, δx_r/δМ мо­жет быть как положительным, так и отрицательным. (См. гл. II.)

7. Последствия изменения цены при постоянном уров­не дохода. Предположим теперь, что рг меняется, а ос­тальные цены (а также М) неизменны. Из (6.1) имеем:

Решая и упрощая, как и прежде, получим:

Используя (6.3), это можно записать в виде:

Это уравнение, полученное первоначально Слуцким, мож­но считать Основным Уравнением Теории Стоимости. Она показывает, как изменение цены товара x_r воздействует на спрос индивида на другой товар (х_s); это воздействие состоит из двух частей, которые мы назвали эффектом дохода и эффектом замещения соответственно. Так как x_r=dM/dp_r (если М не фиксировано, а все х и все про­чие р фиксированы), то из уравнения следует, что член, соответствующий эффекту замещения, выражает воздей­ствие на спрос на товар x_s изменения цены x_r совместно с таким изменением дохода, которое позволило бы потре­бителю при желании купить то же самое количество то­вара, что и раньше, несмотря на изменение р_r. Очевидно, что изменение дохода будет тем меньше, чем меньшую роль играет x_r в бюджете потребителя.

Полагая, что r=s (а у нас нет причин, которые не позволяли бы нам так считать), то же уравнение можно использовать для разделения воздействия цены х_r на спрос на сам товар x_r. Уравнение примет тогда вид:

Из условий стабильности непосредственно следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения, должен быть отрицательным.

8. Свойства члена, соответствующего эффекту замещения. В остальном теория спроса состоит по большей ча­сти из выявления свойств этого фундаментального урав­нения. Прежде всего, удобнее переписать его в другой форме. Член μ U_rs/U, соответствующий эффекту замеще­ния, в действительности инвариантен относительно заме­ны u на φ (u) в качестве функции полезности, следова­тельно, лучше записать его в такой форме, при которой уравнение не будет иметь прямой связи с определенной функцией полезности. Поэтому я буду писать его в ней­тральной форме (x_rs), так что уравнения будут иметь вид:

Это как раз такая форма, в которой нам будет наиболее удобно использовать уравнение в дальнейшем [С некоторых точек зрения (я думаю, не все так считают) есть определенный смысл в том, чтобы выражать фундаментальное уравнение в форме эластичностей, что нетрудно сделать, домножив уравнение на p_r/x_s, и сгруппировав полученные выражения в эле­менты, не зависящие от единиц измерения. В моей французской брошюре La Theorie mathematiqae de la Valeur (Hermann 1937) изложены по большей части последующие рассуждения, с исполь­зованием представления в форме эластичностей. Таким образом, читатель сам может сделать выбор.].

Два свойства члена уравнения, соответствующего эф­фекту замещения, сразу следуют из того, что уже сказа­но. Вначале я выпишу эти свойства, а потом выведу и некоторые другие.

(1) Так как оба определителя U_rs и U симметричны по r и s, то x_rs тоже симметричен. Это означает, что x_sr=x_rs. Таким образом, члены, соответствующие эффекту замещения в δх_s/δр_r и δх_r/δр_s, тождественны. Но члены, соответствующие эффекту дохода, вообще говоря, не рав­ны друг другу. Значит, для того чтобы δх_s/δр_r и δх_r/δр_s были равны, необходимо равенство x_rδх_s/δМ и x_sδх_r/δр_r. Это предполагает, что (М/x_r) δх_r/δМ должно быть равно (М/x_s) δх_s/δМ, т. е. эластичность спроса на x_r и эластичность спроса на x_s по отношению к доходу должна быть одинаковой.

(2) Так как U_rr/U отрицательно, а μ положительно, то x_rr<0.

(3) Выражение

0U_r+ u₁U_1r+ u₂U_2r+....+ u_nU_nr

образует определитель, у которого две строки одинаковы; следовательно, оно равно нулю. Но так как u_sU_rs=p_sμUx_rs=p_sUx_rs, то из этого соотношения можно вывести соотношения между х, а именно

.

Следовательно, Σp_sX_rs (по всем значениям s, кроме r) = -р_rХ_rr. которое несомненно положительно.

(4) В нашей работе до сих пор использовались лишь два условия стабильности из всего их набора (4.1), при­чем эти два условия мы свели к одному условию, соглас­но которому U_rr/U отрицательно. Что означают остальные условия стабильности? Пойдем дальше, чтобы ответить на этот вопрос.

Пусть U_{11, 22}-алгебраическое дополнение u₂₂ в U₁₁; U_{11, 22, 33}-алгебраическое дополнение u₃₃ в U_{11, 22}; и т. д. Тогда условия стабильности говорят о том, что

отрицательны и положительны попеременно.

Из хорошо известного свойства обратных определите­лей [См., например: Вurnside and Pantоn, II, р. 42.] следует, что

будут отрицательными и положительными попеременно.

Но это условие того, что квадратичная форма вида

отрицательна для всех значений z. (См. выше.) Помимо прочих значений, z могут оказаться равными u. Следо­вательно,

Итак,

для всех значений m, меньших n.

Таким образом, мы получили четыре правила, кото­рым должны подчиняться члены уравнения, выражаю­щие действие эффекта замещения:

для всех значений m, меньших n.

Из второго и третьего правил, взятых вместе, следует, что

а из третьего и четвертого, взятых вместе, - что

Это шестое правило можно выразить и следующим об­разом. Если разделить n товаров на две группы любым возможным способом и образовать выражение p_rp_sx_rs (здесь x_r берется из одной группы, а x_s - из другой), то Σ Σp_rp_sx_rs (где r и s пробегают все возможные значе­ния в своих группах) должно быть положительным.

Насколько я понимаю, это единственно важные пра­вила, которым должно соответствовать количество това­ров, приобретенных потребителем на доход. Можно заме­тить, что правило (2) является частным случаем прави­ла (4), а правило (5)-частным случаем правила (6).

9. Дополняемость. Как и в самом тексте книги, я бу­ду говорить, что два блага X_r и х_s являются взаимо­заменяемыми с точки зрения определенного потребителя, если для него x_rs>0, и взаимодополняемыми, если для него X_rs<0. Из правила (5) сразу следует, что хотя и воз­можно, чтобы все прочие потребляемые блага были заменителями Х_r, но невозможно, чтобы все они были допол­няющими по отношению к x_r. А из правила (6) следует, что есть еще одно ограничение на распространенность отношений дополняемости. Существует много способов собрать члены, соответствующие эффекту замеще­ния между парами благ, в группы, внутри которых количество пар взаимозаменяемых товаров должно перевеши­вать количество пар взаимодополняемых товаров. Из группы в n благ можно составить 1/2 n (n-1) различных пар благ; эти 1/2n (n-1) пары можно объединить в груп­пы такого типа

различными способами. 1/2n (n- 1) выражений p_rp_sx_rs (r<>s) не обязаны быть все положительными; но существует 2^n-1-1 различных наборов этих выражении, суммы кото­рых должны быть положительными. Именно в этом смыс­ле заменяемость является доминирующим отношением в системе в целом.

10. Спрос на группу благ. Нам предстоит рассмотреть еще самое важное применение правила (4). Начнем с то­го, что из нашего фундаментального уравнения следует, что стоимость приращения спроса на Х_s, которое вызвано данным пропорциональным изменением цены Х_r, равна

Здесь р_rx_r - объем расходов на товар x_r; p_s (δх_s/δМ) оп­ределяет приращение расходов на товар x_s, которое было бы вызвано увеличением дохода потребителя.

Предположим теперь, что цены группы благ x₁, x₂, ... x_m (ms (s

Стоимость приращения спроса на всю группу благ опре­деляется дальнейшим суммированием:

Это выражение идентично по форме выражению (10.1); ему можно дать соответствующую интерпретацию. Далее, так как г и s суммируются по одной и той же группе товаров, то из правила (4) следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения в (10.2), обязательно будет отрицательным.

Таким образом, мы математически показали очень важный при