| |||||||||||
Дж. Р. Хикс. "Стоимость и капитал" > Математические приложения.
1. Цель данных приложений заключается не просто в том, чтобы выразить основные положения, содержащиеся в книге, с помощью математических символов - в этом я не вижу особой пользы. Если словесные (или геометрические) рассуждения убедительны, они ничего не выиграют от представления в иной форме. Чего мы можем достигнуть, однако, так это уверенности в том, что наши положения обладают максимально возможной общностью: доказанное для двух, трех или четырех товаров справедливо и для n товаров. В этих приложениях я сосредоточу внимание на доказательстве обоснований такого рода обобщений. Я буду придерживаться того же порядка рассмотрения вопросов, что и в тексте книги, и буду выделять части приложений таким образом, чтобы они соответствовали главам книги, с которыми связаны. Я должен начать, однако, с обсуждения чисто математического утверждения, которое играет основную роль в последующем изложении. Какое отношение оно имеет к делу, станет ясно почти сразу. 2. Основное математическое утверждение. (1) Однородную функцию второго порядка от трех переменных ax2+ by2 + cz2 + 2fyz+ 2gzx+ 2hxy можно записать также в следующем виде:
Так как переменные появляются только в скобках, а каждая скобка возведена в квадрат, сразу ясно, что исходное выражение положительно для всех действительных значений переменных, если коэффициенты при всех скобках положительны, и отрицательным, если все соответствующие коэффициенты отрицательны. Эти коэффициенты являются отношениями определителей
Таким образом, исходное выражение будет всегда положительным, если все три определителя положительны; оно будет всегда отрицательным, если первый и третий определители отрицательны, а второй положителен. (2) Такое же утверждение можно установить для произвольного числа переменных [См.: Burnside and Panto n. Theory of Equations, vol. II, p. 181-182. (По этим вопросам см. также: Р. Беллман. Введение в теорию матриц, гл. 5. М., 1976. - Прим. перев.)]. Квадратичная форма общего вида a11x21+ a22x22+...+ annx2n + 2a12x1x2+ 2a13x1x3+...+ 2а23x2x3+... будет положительно определена для всех действительных значений х, если определители
все положительны; она будет отрицательно определена, если они отрицательны и положительны попеременно. (3) Когда требуется найти условия, при которых рассмотренная выше квадратичная форма положительно или отрицательно определена не для всех значений переменных, а только удовлетворяющих линейному ограничению b1x1+ b2x2+ ...+ bnxn = 0, то мы можем двигаться дальше, удалив одну из переменных, например, x1. Квадратичная форма тогда примет следующий вид: c22x22 + c33x32 + ...+ cnnxn2 + 2с23x2x3+ ..., где
Теперь искомые условия можно тогда записать в той же форме, что и в пункте (2) выше - с с вместо а; их можно упростить, умножить каждый определитель на отрицательную величину (-У). Например:
что получается при добавлении первых двух столбцов с соответствующими множителями к каждому из оставшихся столбцов. Таким образом, условие, согласно которому квадратичная форма положительно определена при линейном ограничении, состоит в том, что определители
должны быть все отрицательны (так как отрицательный множитель -b12 изменит все знаки); условие, согласно которому она отрицательно определена, состоит в том, что определители должны быть положительными и отрицательными попеременно. Это все, что нам нужно из чисто математических основ; теперь обратимся к экономике. Приложение к главе I 3. Равновесие потребителя. Мы начинаем с рассмотрения поведения индивида, который располагает фиксированной суммой денег М для расходов (назовем эту сумму условно его «доходом») и имеет возможность потратить эту сумму на n различных товаров. Цены этих n товаров заданы рынком. Обозначим эти цены как p1, p2, р3, ... рn. Обозначим через x1, x2, х3, ... xn количества соответствующих товаров, которые индивид покупает. Тогда, при условии, что он потратит весь свой доход, мы получим:
Предположим пока, что потребности индивида выражаются известной функцией полезности u (x1, х2, х3,... xn). Количество закупленных товаров будет определено из условия, согласно которому и максимальна при соблюдении (3.1). Это количество можно найти, вводя множитель Лагранжа р, и максимизируя выражение:
Условия равновесия потребителя состоят, следовательно, в том. что
где ur - вписано вместо θu/θxr - предельной полезности xr. Таким образом, полученное уравнение выражает равенство между предельной полезностью xr и ценой xr, умноженной на μ (последний множитель связывается с маршаллианским понятием предельной полезности). Если избавиться от μ в уравнениях (3.2), то они сводятся к виду:
Эти n-1 уравнение вместе с уравнением (3.1) дают n уравнений для определения n количеств: х1, х2, ..., xn. 4. Условия стабильности. Чтобы функция u действительно имела максимум, необходимо, чтобы выполнялось не только du=0 (как показано выше), но и d2u<0. Раскрывая эти выражения и обозначая как urs вторые частные производные (так же как и ur-первые), получим:
Последнее выражение является квадратичной формой, подобной той, что мы рассмотрели в § 2 (так как usr=urs); следовательно, условие, согласно которому d2u<0 для всех значений dx1, dx2, ..., dxn, таких, что du=0 [Имеется в виду, что изменения х не должны приводить к нарушению бюджетного ограничения (3.1), т. е. Σ prdxr=0. Отсюда, с учетом (3.2), получаем, что du=Σurdxr=0. - Прим. перев.], состоит в том, что определители
должны быть положительными и отрицательными попеременно. Эти определители будут играть чрезвычайно важную роль в нашем последующем анализе. Я обозначу последний из них как U, а алгебраические дополнения элементов ur, us, urr, urs в U - как Ur, Us, Urr, Urs. Так как n товаров могут быть взяты в любом порядке, то из (4.1) непосредственно следует, что Urr/U должно быть отрицательным. 5. Ординалистский характер полезности. Условия равновесия и условия стабильности для индивидуального потребителя соответствуют предположению, что существует определенная функция полезности и. Это в действительности самый удобный способ записи таких условий. Важно лишь отметить, что они не зависят от существования какой-либо единственной функции полезности. Так, предположим, что функция полезности и заменяется на любую произвольную функцию от себя самой φ (u). Тогда можно показать, что при соблюдении единственного условия, согласно которому функция φ (u) возрастает с ростом u (т. е. при условии, что φ '(u) положительна), условия равновесия и условия стабильности при замене функции полезности никак не изменяется. Так как j/jxr φ (u) = φ '(u) ur то условия равновесия (3.3) останутся неизменными. Равные друг другу отношения просто помножаются на общий множитель φ '(u), который можно сократить. (Даже если они записаны в виде (3.2), они все же не изменяются, если μ заменить на φ '(u) μ. Так как μ - произвольно, то такая замена обоснованна.) Так как (δ2/ δ xr δ xs) φ (u) =φ '(u) urs+ φ ''(u) ur us то определители из условий устойчивости преобразуются аналогичным образом. Первый определитель превращается в
подобное преобразование можно произвести с каждым определителем в данной последовательности, r-ый определитель имеет (r+ 2) строк и столбцов; следовательно его придется помножить на множитель {φ '(u)} r+2. Так как φ '(u) предполагается положительной, ни один из определителей с введением такого множителя не изменит знак; так как именно знаки определителей связаны со стабильностью, можно считать, что соответствующие условия не изменились при замене и на φ (u). Таким образом, если мы решим начать (что, я считаю, нам и следует сделать) не с данной функции полезности, а с данной шкалы предпочтений, нам придется лишь сосредоточить внимание на тех свойствах функций полезности, которые инвариантны относительно замены u на φ (u). Исходные условия равновесия и исходные условия стабильности, как было показано, инвариантны относительно такой замены. В остальном наша теория стоимости будет разрабатываться с использованием только инвариантных свойств, хотя, как правило, я буду оставлять возможность самому читателю проверить инвариантность. 6. Влияние увеличения дохода на спрос. Преобразуем уравнения (3.1) и (3.2), записав их в форме:
Возьмем частную производную по М:
Решая, получим
Из (6.1) находим: ps=us/μ, так что это можно записать в виде:
О знаке Ur ничего не известно, следовательно, δxr/δМ может быть как положительным, так и отрицательным. (См. гл. II.) 7. Последствия изменения цены при постоянном уровне дохода. Предположим теперь, что рг меняется, а остальные цены (а также М) неизменны. Из (6.1) имеем:
Решая и упрощая, как и прежде, получим:
Используя (6.3), это можно записать в виде:
Это уравнение, полученное первоначально Слуцким, можно считать Основным Уравнением Теории Стоимости. Она показывает, как изменение цены товара xr воздействует на спрос индивида на другой товар (хs); это воздействие состоит из двух частей, которые мы назвали эффектом дохода и эффектом замещения соответственно. Так как xr=dM/dpr (если М не фиксировано, а все х и все прочие р фиксированы), то из уравнения следует, что член, соответствующий эффекту замещения, выражает воздействие на спрос на товар xs изменения цены xr совместно с таким изменением дохода, которое позволило бы потребителю при желании купить то же самое количество товара, что и раньше, несмотря на изменение рr. Очевидно, что изменение дохода будет тем меньше, чем меньшую роль играет xr в бюджете потребителя. Полагая, что r=s (а у нас нет причин, которые не позволяли бы нам так считать), то же уравнение можно использовать для разделения воздействия цены хr на спрос на сам товар xr. Уравнение примет тогда вид:
Из условий стабильности непосредственно следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения, должен быть отрицательным. 8. Свойства члена, соответствующего эффекту замещения. В остальном теория спроса состоит по большей части из выявления свойств этого фундаментального уравнения. Прежде всего, удобнее переписать его в другой форме. Член μ Urs/U, соответствующий эффекту замещения, в действительности инвариантен относительно замены u на φ (u) в качестве функции полезности, следовательно, лучше записать его в такой форме, при которой уравнение не будет иметь прямой связи с определенной функцией полезности. Поэтому я буду писать его в нейтральной форме (xrs), так что уравнения будут иметь вид:
Это как раз такая форма, в которой нам будет наиболее удобно использовать уравнение в дальнейшем [С некоторых точек зрения (я думаю, не все так считают) есть определенный смысл в том, чтобы выражать фундаментальное уравнение в форме эластичностей, что нетрудно сделать, домножив уравнение на pr/xs, и сгруппировав полученные выражения в элементы, не зависящие от единиц измерения. В моей французской брошюре La Theorie mathematiqae de la Valeur (Hermann 1937) изложены по большей части последующие рассуждения, с использованием представления в форме эластичностей. Таким образом, читатель сам может сделать выбор.]. Два свойства члена уравнения, соответствующего эффекту замещения, сразу следуют из того, что уже сказано. Вначале я выпишу эти свойства, а потом выведу и некоторые другие. (1) Так как оба определителя Urs и U симметричны по r и s, то xrs тоже симметричен. Это означает, что xsr=xrs. Таким образом, члены, соответствующие эффекту замещения в δхs/δрr и δхr/δрs, тождественны. Но члены, соответствующие эффекту дохода, вообще говоря, не равны друг другу. Значит, для того чтобы δхs/δрr и δхr/δрs были равны, необходимо равенство xrδхs/δМ и xsδхr/δрr. Это предполагает, что (М/xr) δхr/δМ должно быть равно (М/xs) δхs/δМ, т. е. эластичность спроса на xr и эластичность спроса на xs по отношению к доходу должна быть одинаковой. (2) Так как Urr/U отрицательно, а μ положительно, то xrr<0. (3) Выражение 0Ur+ u1U1r+ u2U2r+....+ unUnr образует определитель, у которого две строки одинаковы; следовательно, оно равно нулю. Но так как usUrs=psμUxrs=psUxrs, то из этого соотношения можно вывести соотношения между х, а именно . Следовательно, ΣpsXrs (по всем значениям s, кроме r) = -рrХrr. которое несомненно положительно. (4) В нашей работе до сих пор использовались лишь два условия стабильности из всего их набора (4.1), причем эти два условия мы свели к одному условию, согласно которому Urr/U отрицательно. Что означают остальные условия стабильности? Пойдем дальше, чтобы ответить на этот вопрос. Пусть U11, 22-алгебраическое дополнение u22 в U11; U11, 22, 33-алгебраическое дополнение u33 в U11, 22; и т. д. Тогда условия стабильности говорят о том, что
отрицательны и положительны попеременно. Из хорошо известного свойства обратных определителей [См., например: Вurnside and Pantоn, II, р. 42.] следует, что
будут отрицательными и положительными попеременно. Но это условие того, что квадратичная форма вида
отрицательна для всех значений z. (См. выше.) Помимо прочих значений, z могут оказаться равными u. Следовательно,
Итак,
для всех значений m, меньших n. Таким образом, мы получили четыре правила, которым должны подчиняться члены уравнения, выражающие действие эффекта замещения:
для всех значений m, меньших n. Из второго и третьего правил, взятых вместе, следует, что
а из третьего и четвертого, взятых вместе, - что
Это шестое правило можно выразить и следующим образом. Если разделить n товаров на две группы любым возможным способом и образовать выражение prpsxrs (здесь xr берется из одной группы, а xs - из другой), то Σ Σprpsxrs (где r и s пробегают все возможные значения в своих группах) должно быть положительным. Насколько я понимаю, это единственно важные правила, которым должно соответствовать количество товаров, приобретенных потребителем на доход. Можно заметить, что правило (2) является частным случаем правила (4), а правило (5)-частным случаем правила (6). 9. Дополняемость. Как и в самом тексте книги, я буду говорить, что два блага Xr и хs являются взаимозаменяемыми с точки зрения определенного потребителя, если для него xrs>0, и взаимодополняемыми, если для него Xrs<0. Из правила (5) сразу следует, что хотя и возможно, чтобы все прочие потребляемые блага были заменителями Хr, но невозможно, чтобы все они были дополняющими по отношению к xr. А из правила (6) следует, что есть еще одно ограничение на распространенность отношений дополняемости. Существует много способов собрать члены, соответствующие эффекту замещения между парами благ, в группы, внутри которых количество пар взаимозаменяемых товаров должно перевешивать количество пар взаимодополняемых товаров. Из группы в n благ можно составить 1/2 n (n-1) различных пар благ; эти 1/2n (n-1) пары можно объединить в группы такого типа
различными способами. 1/2n (n- 1) выражений prpsxrs (r<>s) не обязаны быть все положительными; но существует 2n-1-1 различных наборов этих выражении, суммы которых должны быть положительными. Именно в этом смысле заменяемость является доминирующим отношением в системе в целом. 10. Спрос на группу благ. Нам предстоит рассмотреть еще самое важное применение правила (4). Начнем с того, что из нашего фундаментального уравнения следует, что стоимость приращения спроса на Хs, которое вызвано данным пропорциональным изменением цены Хr, равна
Здесь рrxr - объем расходов на товар xr; ps (δхs/δМ) определяет приращение расходов на товар xs, которое было бы вызвано увеличением дохода потребителя. Предположим теперь, что цены группы благ x1, x2, ... xm (m Стоимость приращения спроса на всю группу благ определяется дальнейшим суммированием:
Это выражение идентично по форме выражению (10.1); ему можно дать соответствующую интерпретацию. Далее, так как г и s суммируются по одной и той же группе товаров, то из правила (4) следует, что член уравнения, соответствующий эффекту замещения в (10.2), обязательно будет отрицательным.
Таким образом, мы математически показали очень важный при |